Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние [math]\displaystyle{ (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) }[/math] векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} }[/math] — скалярное произведение вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] на векторное произведение векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{b} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{c} }[/math]:

[math]\displaystyle{ (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right) }[/math].

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами [math]\displaystyle{ \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c }[/math].

Свойства

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

[math]\displaystyle{ (\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)=(\mathbf b,\mathbf c,\mathbf a)=(\mathbf c,\mathbf a,\mathbf b)=-(\mathbf b,\mathbf a,\mathbf c)=-(\mathbf c,\mathbf b,\mathbf a)=-(\mathbf a,\mathbf c,\mathbf b); }[/math]

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

[math]\displaystyle{ \lang \mathbf a, [\mathbf b, \mathbf c]\rang = \lang [\mathbf a, \mathbf b], \mathbf c\rang }[/math]

• Смешанное произведение [math]\displaystyle{ ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) }[/math] в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{a}, \mathbf{b} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{c} }[/math]:

[math]\displaystyle{ ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. }[/math]

• Смешанное произведение [math]\displaystyle{ ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) }[/math] в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{a}, \mathbf{b} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{c} }[/math], взятому со знаком «минус»:

[math]\displaystyle{ ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = - \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. }[/math]

В частности,

• Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
• Геометрический смысл — Смешанное произведение [math]\displaystyle{ ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) }[/math] по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами [math]\displaystyle{ \mathbf{a}, \mathbf{b} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{c} }[/math]; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
• Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими.

Три вектора, определяющие параллелепипед.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

[math]\displaystyle{ (\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a^i b^j c^k }[/math]

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы [math]\displaystyle{ n \times n }[/math], составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

[math]\displaystyle{ (\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c, \ldots) = \sum_{i,j,k,\ldots} \varepsilon_{ijk\ldots}a^i b^j c^k \ldots }[/math]

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также

• Двойное векторное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение
• Псевдоскалярное произведение

Ссылки

• Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач